비틀림 기본개념 (1) - 비틀림 개념과 전단변형률, 전단응력

이번에는

비틀림의 기본개념인,

"비틀림에 대한 정의와 전단개념 그리고

전단변형률과 전단응력 공식"에 대해서 설명하겠습니다.

 

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※ 이번 포스팅의 소제목 내부링크

1. 비틀림의 정의

2. 비틀림의 개념 : 전단변형의 개념

3. 원형관의 전단변형률

4. 비틀림 전단변형률 공식의 주의점

5. 비틀림에서의 전단응력

6. 토크가 들어간 전단응력 공식

7. 비틀림 기본개념  - 비틀림각과 원형관 공식 이해 (링크)

8. 극관성모멘트의 개념과 이해 (링크)

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1. 비틀림의 정의

 

하중들이 봉을 길이방향 축에 대해 비틀려고 하는 힘을 우력이라고

하며, 이렇게 비틀림을 발생시키는 모멘트를

"토크" 또는 "비틀림 모멘트"라고 합니다.

단위는 N.m 입니다. 

 

토크의 방향은 오른손 법칙으로 

오른손 네손가락이 감는방향(회전방향)이라면,

엄지손가락의 방향의 토크의 방향을 나타냅니다.

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(주의)

힘 x 거리 가 에너지 단위도 될 수 있으나,

비틀림 또는 모멘트와 다른 단위니 주의할 것,

애초에 에너지 단위는 스칼라량이고 모멘트는 벡터량임

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아래 그림처럼 모든 단면이 내부 토크의 작용을 받는 순수비틀림 상태에 있다는 상황에서 

시작해보겠습니다.

 

양쪽에 토크가 발생한다면, 축의 한 이밪가

축의 중심으로 부터 회전하는 방향으로 이동하게 됩니다.

이렇게 해서 생긴 각( Φ )을 "비틀림각" 또는 "회전각" 이라고 합니다.

 

 

 

 

2. 비틀림의 개념 : 전단변형의 개념

길이 L봉을 미소단위(dx)로 보겠습니다.

 abcd라는 사각형이 있는데, 

a,d는 고정되어 있고, b와 c가 토크를 받아

b`과 c`으로 각각 이동하였습니다.

abcd에서 ab`c`d로 변화 되었는데,

사각형의 길이는 변하지 않고, 모양이 바뀐 것을 볼 수가 있습니다.

 

변형률 관점에서 보자면, 수직변형률은 "0" 입니다.

대신 각bad가 b`ad로 변화하는 등 다른각들도 변화하였는 것을 보면,

전단변형이 생겼다고 볼 수 있습니다.

 

수직변형률은 없고 전단변형만 생기는 상태를 "순수전단"이라고 부릅니다.

 

따라서 비틀림에 의해서 전단변형이 생겼다고 말할 수 있고,

이 전단변형률을 식으로 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

미소단위(dx)에서 정의하였기 때문에,

단순한 비틀림 각이 아닌 "단위길이당 비틀림각"이 되어 버립니다.

전체 비틀림각 구하려면 여기서 그냥 봉의 길이(L)을 곱하면 됩니다.

 

다음에는 원형관에 대한 전단변형률을 보도록 하겠습니다.

 

 

 

3. 원형관의 전단변형률

지난번 포스팅의 식을 하나 불러와서 보자면,

전단변형률은 반지름에 비례합니다.

(봉의 중심에서는 "0"이고, 봉의 단면이 클수록 커집니다.)

또한, 식의 관계성이 선형입니다.

그렇다면 원형관에 대해 식을 세운다면,

아래와 같습니다.

 

마찬가지고, 봉의 표면이 

꽉 찬 중실관처럼 최대전단변형률이 발생합니다.

다만, 중심부분이 비어있기 때문에,

최소전단변형률은

중심으로부터 가장 가까운 채워진 부분의 반지름을

갖는 부분에서 갖게됩니다.

 

 

 

 

4. 비틀림 전단변형률 공식의 주의점

 

게다가 재료물성치를 기반으로 하는 항이 식에 없기 때문에,

비탄성이든, 탄성이든 어떤재료에서든지 유효하지만,

전단변형률 자체의 식이 작은 각에서 허용되기 때문에,

비틀림각이 작고, 변형률 작은 봉에 제한되는점 알아두시기 바랍니다.

 

 

(bb`/aa`= 삼각함수 = 순수한 각도값 라는 개념이 아주 작은 각에서만 허용됩니다.)

(이해가 안되신다면, 삼각함수의 아주 작은값의 범위와

그 각도값의 라디안 값을 비교하시면 됩니다.)

 

다음에는 비틀림에서 발생하는 전단응력을 포스팅 하겠습니다.

 

 

5. 비틀림에서의 전단응력

 

비틀림에서의 전단응력은

지난포스팅의 비틀림의 전단변형률,

여기에 그냥 전단탄성계수 곱하면 됩니다

 

 

전단변형률이 선형이었기 때문에 

전단응력도, 봉의 중심으로부터 떨어진 거리에 따라 선형적으로

변한다는 사실을 보여줍니다.

 

 

 

6. 토크가 들어간 전단응력 공식

 

하지만, 비틀림은 대부분 토크가 들어갑니다.

그래서 전공시험이나 일반기계기사 시험에서 토크가 들어간 공식을 사용합니다.

 

토크가 들어가기 위해서는 

이 원형단면을 미소면적으로 대해 분석해서 나아가야 합니다.

미소면적에 대한 미소모멘트로부터 시작하겠습니다.

이 미소모멘트는 비틀림에서 발생하는 전단응력의 하중에 의해 발생하는 것입니다.

이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

이 미소모멘트를 단면에 대해 전체 적분하면

토크가 나오고, 반경의 제곱에 대해 미소면적에 대한 적분한 것이기 때문에,

 

비틀림에서의 토크 공식에 극관성모멘트가 필요하게 됩니다.

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(내부링크) 극관성모멘트에 대한 것은  가장 4번항목을 참고하기 바랍니다.

 

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그래서 정리하면,

최대전단응력과 전단응력에 대한 공식은 아래처럼 정리가 됩니다.

 

 

 

다음에는, 비틀림각에 대해서 설명하겠습니다.

 

 

7. 비틀림 기본개념  - 비틀림각과 원형관 공식 이해 (링크)

반응형

비틀림 각에 대한 내용입니다.

토크가 들어간 비틀림각 공식과 비틀림 강성도, 비틀림 유연도에 대한 설명이니,

관심있으신분은 링크를 참고하기 바랍니다.

 

 

 

8. 극관성모멘트의 개념과 이해 (링크)

극관성모멘트의 개념과 이해

 

극관성 모멘트에 대한 이해는 위 링크를 참고하기 바랍니다.

 

 

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앞으로도 엔지니어에게 좋은 지식과 정보를 이해하기 쉽게 글을 포스팅하겠습니다. (By. 요르문간드)